SaveText.Ru

Без имени
  1. documentclass[a4paper]{article}
  2. usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
  3. usepackage[utf8]{inputenc}
  4. usepackage[russian]{babel}
  5. usepackage{setspace,amsmath}
  6. usepackage{graphicx}
  7. graphicspath{{alexeimg}}
  8. DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
  9. usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm, bottom=15mm, nohead, footskip=10mm]{geometry} % настройки полей документа
  10.  
  11. begin{document} % начало документа
  12.  
  13. % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
  14. begin{center}
  15. hfill break
  16. large{Министерство науки и высшего образования Российской Федерации}\
  17. large{федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
  18. высшего образования}\
  19. small{textbf{Самарский государственный технический университет»\
  20. (ФГБОУ ВО «СамГТУ»)
  21. }}\
  22. hfill break
  23. normalsize{Институт автоматики и информационных технологий}\
  24.  hfill break
  25. normalsize{Кафедра высшей математики}\
  26. hfillbreak
  27. hfill break
  28. hfill break
  29. hfill break
  30. large{Методы оптимизации}\
  31. hfill break
  32. large{Отчеты по лабораторным работам\
  33. hfill break
  34. hfill break
  35. }\
  36. hfill break
  37. hfill break
  38. end{center}
  39.  
  40. hfill break
  41. hfill break
  42.  
  43. normalsize{
  44. begin{flushright}
  45. begin{tabular}{cccc}
  46. Выполнил & underline{hspace{3cm}} & Калачиков А.Ю. \\
  47. Проверил(а) & underline{hspace{3cm}}& Афанасьева О.С. \\
  48. end{tabular}
  49. end{flushright}
  50. }\
  51. hfill break
  52. hfill break
  53. begin{center} Самара, 2021 end{center}
  54. thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
  55.  
  56. % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
  57.  
  58. begin{center}chapter{Лабораторная работа №1\Составить математическую модель и решить задачу графически.}end{center}
  59.  parunderline{Задача 1.} При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед. питательного вещества $S_1$ , не менее 8 ед. $S_2$ и не менее 12 ед. вещества $S_3$. Для составления рациона используют два вида корма. par Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг. каждого вида корма и стоимость 1 кг. корма приведены в таблице.
  60. begin{center}
  61. begin{tabular}{|c|c|c|}
  62. hline
  63. & multicolumn{2}{c|}{Количество единиц питательного вещества} \
  64. cline{2-3}
  65. raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{Питательные вещества}
  66. & Корм I & Корм II \
  67. hline
  68. $S_1$ & 3 & 1 \
  69. $S_2$ & 1 & 2  \
  70. $S_3$ & 1 & 6 \
  71. hline
  72. Стоимость 1 кг. корма (д.ед.) & 4 & 6 \
  73. hline
  74.  
  75. end{tabular}
  76. end{center}
  77.  
  78. par Необходимо составить дневной рацион питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.\
  79. partextbf{underline{Решение}}
  80. par Предположим, что корма 1 было $x_1$, а корма 2 - $x_2$. Посколько кормежка ограничено имеющимся в задаче требованиями, должны выполняться неравенства:
  81.  
  82. begin{equation*}
  83.  begin{cases}
  84.    $3x_1$+$2x_2$ geqslant 9,
  85.    \
  86.    $x_1+2x_2 geqslant 8$,
  87.    \
  88.    $x_1+6x_2 geqslant 12$,
  89.    \
  90.    $x_1,x_2 geqslant 0$.
  91.  end{cases}
  92. end{equation*}
  93.  
  94. par Составим целевую функцию: $F=4x_1+6x_2$. Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных значений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором целевая функция $F$ принимает минимальное значение.parНайдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые:
  95.  
  96. begin{equation*}
  97.  begin{cases}
  98.    $3x_1+2x_2 = 9$,
  99.    \
  100.    $x_1+2x_2 = 8$,
  101.    \
  102.    $x_1+6x_2 = 12$,
  103.    \
  104.    $x_1=0$, $x_2=0$.
  105.  end{cases}
  106. end{equation*}
  107.  
  108. parЭти прямые изображены на рис. 1
  109. parКаждая из построенных прямых делит плоскость на две полупроскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой - нет. parПересечение полученный полуплоскостей и определяет треугольник решений данной задачи $ABC$. Найдем точку, принадлежащую этому треугольнику, в которой функция $F$ принимает максимальное значение. parДля этого построим линию уровня $F=const$, например:
  110. begin{center}
  111.     $4x_1+6x_2=12$
  112. end{center}
  113. par Перемещая линию уровня в направлении градиента (вектор $vec c$), найдем ее последние общие точки с многоугольником решений задачи. Этими точками будет вершина $B$ и $C$. Координаты этих вершин и определяют план кормежки, при котором все будут наедаться.
  114. par Найдем координаты точки $B$ как точки пересения прямых $AB$ и $BC$. Для этого необходимо решить системы уравнений:
  115.  
  116. begin{equation*}
  117.  begin{cases}
  118.    $3x_1+x_2=0$,
  119.    \
  120.    $x_1+2x_2=8$.
  121.  end{cases}
  122. end{equation*}
  123.  
  124. begin{equation*}
  125.  begin{cases}
  126.    $x_1+6x_2=12$,
  127.    \
  128.    $x_1+2x_2=8$.
  129.  end{cases}
  130. end{equation*}
  131.  
  132.  par Решив эти системы, получим $x^{1}_1=2, x^{1}_2=3$ и $x^{2}_1=6, x^{2}_2=1$. Следовательно, оптимальный план будет: $X^{1}={2; 3}$ и $X^{2}={6;1}$, а минимальная кормежка составит:
  133. begin{center}
  134.     $F_{min}=8+18=26$
  135. end{center}
  136.  
  137. par Расчеты подтверждены поиском решений в Exsel.
  138.  
  139. begin{figure}[h]
  140.     centering includegraphics[width=0.5textwidth]{img1}\
  141.     caption{График} % подпись
  142. end{figure}
  143.  
  144. end{document}  % КОНЕЦ ДОКУМЕНТА !

Share with your friends:

Print